<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 7 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio  
          Editora Scipione. 

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627271-2

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
          Tel. (11) 3990-1810
          ~,www.scipione.com.br~,
<P>
                                I
 Sumrio

Quinta Parte

Captulo 5 -- Geometria 
 1- O que  um ngulo? ::::: 415 
 2- Medida de um ngulo :::: 429
 3- Noes geomtricas que 
  dependem dos ngulos :::::: 440
 Caa ao tesouro: ao sobre 
  ngulos, rotas areas e 
  mapas ::::::::::::::::::::: 460 
 4- Construo de polgonos 
  regulares ::::::::::::::::: 464
 5- Simetria axial ::::::::: 470
 6- Simetria de rotao :::: 486
 7- Localizando-se no 
  plano ::::::::::::::::::::: 495
 8- Representao de 
  figuras geomtricas 
  espaciais ::::::::::::::::: 508

<173>
<P>
<tmat. medida c. 7>
<T+415>
Captulo 5 -- Geometria 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como suas atividades so predominante visuais. Para melhor aproveit-lo, pea orientao ao seu professor_`]
<R->

<174>
1- O que  um ngulo? 

  Para responder  pergunta do ttulo, vamos estudar antes um outro conceito: o de regies convexas. 

Regies convexas e regies no 
  convexas 

  Em um plano, temos dois tipos de regies: as convexas e as no convexas. Veja exemplos: 
<P>
<R+>
_`[{figuras: duas regies convexas e duas regies no convexas_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Numa regio no convexa, sempre  possvel encontrar um segmento de reta que no est contido na regio, mas que tem extremos nela. 

<F->
pcccccccccccccc
l              _
l              _
l              _
l              _
l            _
l A      B _
l o::::::o _
l            _
l            _ 
v-          -#
<F+>

  A regio M  no convexa: os pontos A e B, extremos do seg-
 mento ^c?{a{b*, esto na regio M, mas o segmento no. 
  Isso no ocorre nas regies convexas porque elas no tm reentrncias. 

<175>
ngulos 

  Duas semirretas com a mesma origem, e que no estejam contidas na mesma reta, separam o plano em duas regies: uma convexa e outra no convexa. 
  Cada uma dessas regies, com as semirretas, forma um ngulo. Ento, as duas semirretas determinam dois ngulos: 

<F->
              *
             *
regio no  * regio
convexa      convexa
            ?
             ?
              ? 
<P>
        *
   B o
     *
    *
A 
    ?
     ?
   C o
        ?
<F+>

  Na maioria das vezes, estamos interessados no ngulo correspondente  regio convexa. Se no for esse o caso, a figura ou o texto informaro. 
  Agora, considere duas semirretas de mesma origem A que estejam contidas na mesma reta. Tambm nesse caso formam-se ngulos. 
<R+>
  Se as semirretas coincidem (so iguais), temos o ngulo de uma volta e o ngulo nulo:
<P>
_`[{semirreta no representada_`]
 Legenda: O ngulo de uma volta ocupa todo o plano.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<F->
o::::::o:::o::
A      B   C 
<F+>

Legenda: O ngulo nulo  formado apenas pelas semirretas.

 Se as semirretas esto na mesma reta e no coincidem, temos dois ngulos rasos. O ngulo raso tambm  conhecido como ngulo de meia-volta. 

_`[{semirreta no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<176>
<P>
Os lados e o vrtice de um ngulo 

  Todo ngulo tem dois lados e um vrtice. Os lados so as semirretas que o determinam. O vrtice  a origem comum dessas semirretas. 
  O ngulo de lados :,?{a{b* e :,?{a{c* assinalado na figura  indicado por :?{b{a{c* ou :?{c{a{b* ou, simplesmente, :{a. 

<F->
        *
   B o
     *
    *
A o:::::o::
          C

A: vrtice
<F+>

ngulos que podem ser desenhados 
  com esquadro 

  Os ngulos de 30, 45, 60 e 90 so ngulos particulares. Eles podem ser desenhados com esquadro: 

<R+>
_`[{quatro desenhos de ngulos diferentes_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Juntando esquadros, podem ser desenhados outros ngulos. 

<R+>
_`[{dois desenhos descritos a seguir:
  1. Dois esquadros com os ngulos de 60} juntos, formando 120}.
  2. Dois esquadros com os ngulos de 45} e 90} juntos, formando 135}_`]
<R->

<177>
<P>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades 1, 3, 4, 5, 6 e 7, pea orientao ao professor_`]

1. Juntando dois esquadros, vou formar alguns ngulos. 
  Diga quanto mede cada um: 

_`[{trs desenhos no adaptados_`]

2. O ngulo reto mede 90. ngulos obtusos medem mais que o reto, e ngulos agudos medem menos que o reto. No exerccio anterior, quais so os ngulos obtusos?

3. Observe estas regies planas _`[no adaptadas_`]: 
 a) Quais delas so convexas? 
 b) Quais delas so polgonos convexos? 
  Lembrete: o contorno de um polgono  formado por segmentos de reta.

4. Quais so as frases verdadeiras em relao  figura _`[no adaptada_`]?
 a) Esse ngulo  convexo. 
 b) Seu vrtice  o ponto D. 
 c) Um de seus lados  :,?{a{e*.
 d) Sua medida  30.

5. Cada um dos ngulos _`[no adaptados_`] tem um nome especial. Que nome  esse? 

6. As afirmaes a seguir referem-se aos ngulos assinalados na figura _`[no adaptada_`]. Quais delas so verdadeiras? 
 a) O ngulo de lados :,?{x{b* e :,?{x{c*  convexo. 
 b) :?{a{x{c*  um ngulo reto. 
 c) :?{a{x{b*  um ngulo maior que o reto. 
 d) Reunindo os ngulos :?{a{x{b*, :?{a{x{c* e :?{a{x{d*, temos um ngulo raso. 
 e) Os ngulos :?{c{x{b* e :?{c{x{d* tm um lado comum.

7. A reta ~:,?{a{b* intercepta a reta ~:,?{c{d* no ponto x. 

<F->
 ^              ^
   o          o
   C^      ^B    
       ^  ^          
         o        
       ^X^       
   A^      ^D
   o          o
 ^              ^ 
<F+>

a) Reunindo os ngulos :?{b{x{c* e :?{c{x{a* assinalados na figura, que ngulo formamos? 
 b) E reunindo os ngulos convexos :?{b{x{c*, :?{c{x{a*, :?{a{x{d* e :?{d{x{b*? 

<178>
<P>
Pensando em casa

_`[{para as atividades 8 a 11, pea orientao ao professor_`]

8. Voc pode medir estes ngulos _`[no adaptados_`] com esquadros. Faa isso. 
 9. No exerccio anterior, quais so os ngulos retos? 

10. No polgono {r{e{n{a{t{o, assinalamos os ngulos internos: 

<F->        
             O           R 
              _ccccccccccc
              _:O   :R_
   A       T_           _
    !:::::::::j           _
    l:A      :T       _
    l                     _
    l                     _
    l:N             :E_
    h:::::::::::::::::::::j
   N                     E
<F+>
<P>
a) Esse polgono  convexo? 
 b) Algum de seus ngulos internos  no convexo? Qual?

11. Nesta figura, assinalamos trs ngulos. 

<F->
          A ^
           o
         ^
       ^    
   X ::::::o:: 
       ^    B 
         ^   
        C o
             ^
<F+>

_`[{os ngulos internos no foram adaptados_`]

a) Usando as letras A, B, C e X, indique cada um deles. 
 b) Desses trs ngulos, considere o maior. Quais so os seus lados?

12. Considere os lados de um ngulo raso. Eles so semirretas? Eles esto contidos em uma mesma reta? Eles so coincidentes?
 13. Considere os lados de um ngulo nulo. Eles so semirretas? Eles esto contidos em uma mesma reta? Eles so coincidentes?

14. A reta ~:,?{x{y* corta a reta ~:,?{z{w* no ponto A.  
 a) Faa a figura correspondente e assinale o ngulo raso :?{x{a{y*, ao qual pertence o ponto Z. 
 b) A semirreta :,?{a{z* divide esse ngulo raso em outros dois. Como eles devem ser indicados?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
15. Os ngulos internos destes dois tringulos podem ser medidos com esquadros. 

<F->
   I
      
       
        
   ------u
   
   II
             
         
          
           
            
   ----------u
<F+>

 a) Quanto eles medem? 
 b) Os ngulos do tringulo II so maiores que os ngulos do tringulo I? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<179>
<P>
2- Medida de um ngulo 

  Em tempos muito antigos, as pessoas notaram que as estaes do ano se repetiam a cada 360 dias, aproximadamente. Definiram ento o ano com 360 dias. 
  Depois, verificou-se que isso no era correto, mas o nmero 360 permaneceu como base para certas medidas. Por exemplo: para medir os ngulos, a referncia  o ngulo de uma volta, que mede 360 (trezentos e sessenta graus). Como um ngulo de uma volta contm dois ngulos rasos, cada um deles mede 180. 
  Dividindo o ngulo raso em 180 ngulos de mesmo tamanho (o que d um trabalho enorme), temos o ngulo de 1: 

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Transferidor 

  Para facilitar a medida de ngulos, foi criado um instrumento chamado transferidor. 
<180>
  Para medir um ngulo, o centro do transferidor deve estar sobre o vrtice e os lados do ngulo devem interceptar a escala do transferidor. 

<R+>
_`[{figuras de dois transferidores seguidos de legenda_`]
 Legenda 1: O ngulo :?{z{x{y* mede 30}.
 Legenda 2: Veja que o transferidor pode estar em outra posio. Tambm nesse caso percebe-se que :?{z{x{y* mede 30}.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Relacionando medidas de ngulos 

  Nos desenhos, no costumamos marcar as medidas de todos os ngulos. Conhecendo algumas medidas, podemos calcular outras. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos calcular a medida do ngulo :?{a{x{b*: o ngulo :?{a{x{b* e o ngulo :?{b{x{c* formam um ngulo raso. 

<F->
                  *
              Bo
               *
              * 
   ::o::::::j:::::::o::
     A     X       C
<F+>

  :?{b{x{c*=61}

  Portanto, :?{a{x{b* mede 180-61=119.
 2. Observe que os quatro ngulos _`[no adaptados_`] de medida x formam um ngulo de 90. Temos, ento: x=904=22,5 
 3. As marcas no mostrador do relgio determinam 12 ngulos de mesma medida, todos com vrtice no centro do mostrador. Quanto mede cada um desses ngulos? Temos 12 ngulos de medida x. Todos juntos formam um ngulo de uma volta. Logo: 
<R->
  x=36012 
  x=30 

<181>
Medidas fracionrias de ngulos 

  A medida de um ngulo pode ser fracionria. Observe que no exemplo 2 h um ngulo cuja medida  o nmero decimal 22,5. Essa medida, no entanto, pode ser indicada com os submltiplos do grau. 
  Esses submltiplos so o minuto e o segundo. 

<R+>
_`[{o menino diz: "No confunda com o minuto e o segundo usados para marcar o tempo."_`]

  1 grau contm 60 minutos. 1=60
  1 minuto contm 60 segundos. 1=60 
<R->
<P>
  Assim, um ngulo pode medir, por exemplo, 10 20 5 (dez graus, vinte minutos e cinco segundos). 
  Vamos expressar a medida 22,5 no sistema grau-minuto-segundo: 
 0,5=0,5'60=30 
 22,5=22+0,5=22 30 
  Tambm podemos fazer o contrrio. Vamos escrever 10 15 na forma de um nmero decimal: 
 15=1560 do grau=14 do grau=0,25 
 10 15=10+0,25=10,25

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades 16 a 21, pea orientao ao professor_`]

16. Quanto medem os seguintes ngulos _`[no adaptados_`]?
<182>
 17. Agora, com um transferidor, mea estes ngulos _`[no adap-
  tados_`]:
 18. Encontre a medida dos ngulos _`[no adaptados_`] sem usar o transferidor. Todos eles correspondem a regies no convexas. 
 19. Encontre as medidas x, y, z e w sem usar o transferidor. 

<F->
             
            
   r   :x  55}
   --------------

          l
          l 
          r::
   r  :y l_-_
   :::::::h::j::::::

           _      
           _ 50} 
           _     ^
        !::w   ^
   r    l_-_ ^ :z
   :::::h::ji:::::::::

      ^        i
        ^70} i
     30} ^  i :w
   r :::::::ei:::::::::
<F+>
<P>
20. Dizem que o trevo de quatro folhas traz boa sorte. As nervuras das folhas formam quatro ngulos de mesma medida, com vrtice comum no centro da folha. Quanto mede cada ngulo?

21. Neste relgio, _`[no adaptado_`] assinalamos um ngulo: 
 a) Quanto mede o ngulo assinalado? 
 b) Quanto mede o menor ngulo formado pelos ponteiros? 
 c) Quanto mede o maior ngulo formado pelos ponteiros?

22. Quanto mede o menor ngulo formado pelos ponteiros do relgio s 8 h?

23. Certo ngulo mede 12 20 40. 
 a) Escreva essa medida por extenso. 
 b) Ela  maior ou menor que 12,5? Por qu? 

<183>
Pensando em casa 

_`[{para as atividades 24, 25 e 27, pea orientao ao professor_`]

24. Observe a figura _`[no adaptada_`]:
 a) Use o transferidor e d as medidas dos ngulos :?{a{x{b*, :?{b{x{c*, :?{c{x{d* e :?{d{x{e*. 
 b) D tambm as medidas de :?{b{x{d*, :?{a{x{d* e :?{a{x{e*. 

25. A estrela-do-mar  um animal marinho. Do centro de seu corpo partem cinco braos, que determinam cinco ngulos de mesma medida. 
  Quanto mede cada um desses ngulos? 
 
26. Diga quanto mede: 
 a) o ngulo de uma volta; 
 b) o ngulo nulo; 
 c) o ngulo raso; 
 d) o ngulo no convexo que tem os mesmos lados de um ngulo reto. 

27. Em cada caso, calcule a medida x sem usar transferidor. 

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

28. Os ngulos :?{c{x{b* e :?{c{x{d* formam um ngulo raso. Se o primeiro ngulo mede o triplo do que mede o outro, qual  a medida de cada um? 

29. Escreva no sistema grau-
  -minuto-segundo: 
 a) 15,5 
 b) 12,25 
 c) 6,75 
 d) 30,1 

30. Escreva estas medidas com fraes na forma mista: 
 a) 40 45 
 b) 40 6 

31. Escreva com nmeros decimais: 
 a) 40 30 
 b) 40 12 

32. Diga quanto mede o menor ngulo formado pelos ponteiros do relgio: 
 a) s 10 h 
 b) s 17 h 

33. Leia a notcia. Ela se refere a um projeto que deu certo, pois a torre no caiu at hoje. 

  Fora no contrap

<F->
  Como os cientistas esperam 
    desentortar a Torre de Pisa
<F+>

  A Torre de Pisa comeou a ser construda em 1174 e foi projetada para abrigar o sino da catedral da cidade de Pisa, na Itlia. Sua construo foi concluda em 1350, j inclinada devido a um afundamento do terreno.
  A inclinao atual  de 5,3 graus. Basta um aumento de menos de 1 grau para o edifcio cair.
  Os cabos de ao que hoje amarram a torre pela cintura no vo segur-la por muito tempo.
  A sada  remover parte do subsolo do lado oposto ao que est afundando. Com isso espera-se que a torre se mova na direo oposta.

*Superinteressante*. So Paulo: Abril, n.o 8, 8 ago. 2000. 

a) Explique o significado da expresso "inclinao de 5,3", usada em relao  Torre de Pisa. 
 b) Transforme 5,3 em graus e minutos. 
 c) Por que  preciso desentortar a Torre de Pisa? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<184>
3- Noes geomtricas que 
  dependem dos ngulos 

  Muitas noes teis no estudo da geometria dependem dos ngulos. Vejamos algumas dessas noes. 
<R+>
  Retas perpendiculares so retas que se cortam formando ngulos retos. 

  r e s so perpendiculares.

<F->
       s l
         l
         r::
   r     l_-_
   ::::::r::j:::::
         l
         l
         l
<F+>
<P>
   u e v no so perpendiculares.

<F->
   u
   ^      ^
     ^  ^
       ^
     ^  ^
  v^      ^
<F+>

 Os tringulos podem ser classificados a partir de seus ngulos. 

<F->
            
          ^ 
        ^ 
      ^  
    ^   
    ccccc
<F+>

Legenda: Tringulos obtusngulos tm um ngulo obtuso.
<P>
<F->
             
          _
          _
          _
          _ 
          _ 
       !::w 
       l_-_ 
   ----v--#
<F+>

Legenda: Tringulos retngulos tm um ngulo reto.

<F->
             
         
          
           
            
   ----------u
<F+>

Legenda: Tringulos acutngulos tm todos os ngulos agudos.

 A forma dos polgonos depende do comprimento de seus lados, mas no s deles. Veja: 
<R->
<P>
<F->
  I
           
            
      2      2
              
               
                
      l          _
      l          _
   2 l          _ 2
      l          _ 
      r::    !::w 
      l_-_    l_-_ 
      v--#----v--#
           2
<P>
   II
             ^^
           ^    ^ 
      2 ^ 108}  ^ 2
       ^            ^
     ^                ^               
   ^                    ^
   e 108}          108} i
    e                    i
     e                  i
   2 e                i 2
       e 108}  108} i
        e::::::::::::i
              2
<F+>

  Todos os lados desses pentgonos medem 2 cm. A diferena entre as suas formas deve-se aos ngulos. Note que h algo de especial no pentgono II. Ele  um polgono regular. 
  Polgonos regulares so os que tm todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ngulos com a mesma medida. 

<185>
<P>
Direes, inclinaes e rotaes
 
<R+>
 As direes podem ser indicadas com ngulos. Nas rotas de avies ou navios, usam-se medidas de ngulos. Como exemplo, observe este desenho _`[no adaptado_`]:
  Essa rota pode ser descrita assim: o navio percorreu 2 km perpendicularmente  praia, e depois desviou 30 para a esquerda. Os marinheiros dizem que o navio guinou 30 a bom-
  bordo, em vez de dizer que virou 30 para a esquerda.
  As inclinaes podem ser indicadas com ngulos. 

_`[{rampa no adaptada_`]
 Legenda: Essa rampa de acesso ao viaduto tem uma inclinao de 20} em relao  horizontal.

 As rotaes (ou giros) tambm podem ser indicadas com ngulos. 

_`[{desenho de dois relgios: um marca 12 horas e o outro, 14 horas_`]
 Legenda: Das 12 at as 14 horas, o ponteiro das horas de um relgio gira 60}.
<R->

Tamanho aparente dos objetos 

  Os ngulos esto relacionados com o tamanho aparente dos objetos. 
  Voc sabe que, quanto mais longe estiver um objeto, menor ele parece. 
  Isso acontece porque o ngulo de viso de um objeto distante  menor que o ngulo de viso do mesmo objeto quando prximo. 

<186>
<P>
Atividades 

<R+>
34. Em relao  reta hori-
  zontal h: 

<F->
         v     i
         _     
         _    
         _   
      !::w  
h     l_-_  50}
------v--#-------
         
         
       
      
<F+>

a) Qual  a inclinao da 
  reta i? 
 b) Qual  a inclinao da reta vertical v?

35. Classifique os tringulos em relao aos ngulos: 
<P>
<F->
a)

           A 
           
            
         42}    
              
               
                
      60}  78} 
  C--------------uB

b)

    D!::::::::::::::::::::!E
      l_-_                ^  
      r::j              ^
      l               ^
      l             ^
      l           ^
      l         ^
      l       ^    
      l45} ^
      l   ^ 
      l ^
      r^
     F

c)

   H
    r'
    l ^ 
    l   ^
    l30} ^
    l       ^
    l         ^
    l           ^
    r::          ^
    l_-_       60} ^
 G h::j::::::::::::::hI
                    
d)
 
  N
    e    
     e^
      e ^
       e  ^
        e   ^
         e    ^
          e     ^
           e      ^      
            e 108} ^
          P ccccccccccO
<F+>
<P>
36. A rosa dos ventos  construda a partir de 8 ngulos de mesma medida. Juntos, eles formam um ngulo de uma volta. 

<F->
Legenda:
  N: Norte
  NE: Nordeste
  L: Leste
  SE: Sudeste
  S: Sul
  SO: Sudoeste
  O: Oeste
        
{{no      {n       {{ne         
  ^              ^        
    ^          ^            
      ^      ^             
        ^  ^ :X             
{o::::::::rw::::::::{l        
        ^  ^              
      ^      ^             
    ^          ^            
  ^              ^        
{{so      {s       {{se    
<F+>
<P>
a) Qual  a medida x? 
 b) Na rosa dos ventos, a reta 
  norte-sul  perpendicular  reta nordeste-sudoeste? 
 c) Qual  a reta perpendicular  reta nordeste-sudoeste?

37. Duas estradas partem do mesmo local. 
 a) Se uma delas vai para o norte (N) e outra para o leste (L), que ngulo elas formam? 
 b) Se uma delas vai para oeste (O) e a outra para o nordeste (NE), que ngulo elas formam?

38. Diga quantos graus gira o ponteiro das horas de um relgio em: 
 a) 1 hora;  
 b) 30 minutos; 
 c) 15 minutos;
 d) 20 minutos.

39. O relgio marca 13 h 15 min. Quanto mede o ngulo convexo formado pelos ponteiros? 
  Sugesto: 
  Observe o relgio s 13 h 15 min: 

_`[{adaptao do angulo dos ponteiros do relgio_`]

<F->
   1
        2
        
    :x
  j:::::::: 3
<F+>

  Se o ponteiro das horas apontasse exatamente para o 1, o ngulo procurado seria 2'30=60. 
  No entanto, 15 minutos aps as 13 horas, o ponteiro das horas afastou-se do 1. Quantos graus ele se afastou? 
  Bem, agora  s pensar com propores. Se em 1 hora ele gira 30, em 30 minutos ele gira ... E em 15 minutos sero ... Tire suas concluses e d a soluo.
<P>
40. Descubra quanto mede o ngulo convexo formado pelos ponteiros do relgio s: 
 a) 12 h 30 min; 
 b) 12 h 15 min. 

<187>
41. Os ladrilhos deste piso 
  _`[no adaptado_`] tm a forma do hexgono regular. 
  Calcule a medida x do ngulo interno do hexgono regular.

_`[{para as atividades 42 e 43, pea orientao ao professor_`]

42. Um rob de brinquedo d passos de 1 cm. Ele recebeu a ordem de dar 3 passos para a frente, girar 120 para a esquerda e dar mais 3 passos. A que distncia do ponto inicial ele parou? 
  Ajuda: 
  Vamos desenhar a trajetria do rob _`[no adaptado_`]. Voc mede o que deve e d a resposta. 
<P>
43. Um rob de brinquedo d passos de 1 cm. Ele sai do ponto A, d 4 passos para a frente at o ponto B, gira 120 para a direita, d mais 4 passos e chega ao ponto C. 
 a) Desenhe o trajeto do rob. 
 b) Se o rob tivesse ido em linha reta de A para C, quantos centmetros ele teria percorrido?
 c) No ponto C, o rob gira 120 para a direita, d 4 passos e para. A que distncia de A ele parou?

44. O esquema mostra um homem num cinema, a 3 m da tela. 
  O ngulo de viso vertical das pessoas nunca ultrapassa 40. 

_`[{esquema adaptado_`]
 Legenda:
  A: vrtice do ngulo de viso.
  ^c?{b{c*: distncia da poltrona  tela.
<P>

<F->
            l           
          ^l
        ^  l
      ^    l 
  A  40} l 4 m  
      ^    l
        ^  l
          ^l
            l
  o:::::::o
  B  3 m C
<F+>

a) De acordo com o esquema, o homem enxerga toda a tela? 
 b) O que ele deve fazer para poder enxergar toda a tela?

Pensando em casa

45. Responda:

_`[{figura no adaptada_`]

a) As retas r e s so perpendiculares? 
<P>
 b) E as retas r e t?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

46. 
 a) Represente retas distintas *u* e *v*, perpendiculares  reta *t*. 
 b) As retas *u* e *v* so concorrentes ou paralelas?
 c) Existem tringulos com dois ngulos internos retos? Por qu?

_`[{para as atividades 47, 48, 51, 52 e 53, pea orientao ao professor_`]

<188>
47. Coloquei trs pentgonos regulares do modo como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Medi o ngulo que sobrou: deu 36. Agora, calcule a medida x de cada ngulo interno do pentgono regular.
<P>
 48. Observe o seguinte piso, forrado por dois tipos de ladrilhos: octgonos regulares e qua-
  drados _`[no adaptados_`].
  Quanto mede cada ngulo interno do octgono regular?

49. Diga quantos graus gira o ponteiro das horas de um relgio em: 
 a) 4 horas;  
 b) 1 hora e meia; 
 c) #,b hora;
 d) 10 minutos.

50. Descubra quanto mede o ngulo convexo entre os ponteiros de um relgio s 11 h 15 min.

51. Quando o relgio marca meio-dia e vinte, o ngulo convexo formado pelos ponteiros no mede 120.
 a) Qual  a medida desse ngulo? 
 b) E quando o relgio marcar meio-dia e quarenta?
<P>
52. Um avio parte do aeroporto A para o aeroporto B, em linha reta. De A at B h 100 km. Aps 50 km, um temporal obriga o avio a desviar-se 60  esquerda da rota. A, ele percorre 100 km e faz um pouso for-
  ado. 
  Desenhe o trajeto do avio, representando cada 10 km por 1 cm. Mea o seu desenho e diga a que distncia de B o avio pousou. 

53. Um rob de brinquedo d passos de 1 cm. Ele caminha 5 passos para a frente, gira 120 para a direita, d mais 10 passos e para. 
 a) Desenhe o trajeto do rob. 
 b) No seu desenho, mea a quantos centmetros ele est do ponto de partida. 
 c) Do ponto onde parou, o rob gira 150 para a direita e volta ao ponto de partida. Seu 
<P>
  trajeto forma um tringulo obtusngulo, retngulo ou acutngulo? 

<189> 
Desafios e surpresas

1. Se um relgio funciona perfeitamente,  possvel descobrir as horas e os minutos marcados sem usar o ponteiro grande! Basta saber com exatido quantos graus o ponteiro pequeno girou a partir do 12. 
  Descubra as horas e os minutos marcados nestes relgios: 
 a) _`[{o ponteiro pequeno est no cinco_`] 
 b) _`[{o ponteiro pequeno est no quatro_`]

2. Observando o tempo
  Ari Timtico  um matemtico meio preguioso. Para tirar suas concluses, parece sempre optar pelo caminho mais difcil. Imagine que ele passou um dia inteiro sentado no sof, sem tirar os olhos do relgio da sala, s para contar quantas vezes os ponteiros das horas e dos minutos formavam um ngulo reto ao longo de vinte e quatro horas. Voc saberia dar a resposta sem passar o dia de olho no relgio? 

*Cincia hoje das crianas*, ano 14, n.o 111, mar. 2001, SBPC, p. 12.
<R->

<190> 
Ao sobre ngulos, rotas areas
  e mapas

Caa ao tesouro
   
  A classe ser dividida em grupos, e cada grupo deve ter uma bssola. 
  Esta atividade tem uma fase preparatria. Nela, cada grupo ir executar as seguintes tarefas: 
<R+>
 1 escolher um esconderijo para o tesouro; 
 2 escolher um trajeto que leve ao esconderijo. 
<R->
<P>
  Na escolha do trajeto, devem-se respeitar algumas regras: 
<R+>
  O trajeto deve ter um ponto de partida, que pode ser a porta da diretoria, a cantina, o porto de entrada etc. 
  Ele no pode sair do terreno da escola. 
  O trajeto deve ser plano (sem subida de escadas, por exemplo). 
  Deve ser formado de trs ou quatro rotas. 
<R->
  Vamos agora explicar como se indicam as rotas, usando a bssola. Fica combinado que a rota de 0  a que se dirige para o norte magntico. Assim, a rota de 40 oeste  a que se desvia 40 do norte magntico, para oeste. 

_`[{bssolas no adaptadas_`]
 Legenda 1: rota 0}.
 Legenda 2: rota 40} oeste.
 Legenda 3: rota 100} leste.
<P>
  Escolhido o trajeto, o grupo faz uma indicao do caminho, por escrito, como esta: 

Como chegar ao esconderijo

<R+>
Partida: porto de entrada da 
  escola.
 1 Pegue a rota 50 leste e d 21 passos.
 2 Pegue a rota 20 oeste e d 10 passos.
 3 Pegue a rota 100 oeste e d 16 passos.
 Grupo 7

_`[{o menino diz: "Ateno: todas as rotas tm como referncia o norte magntico."_`]
<R->
 
<191>
  Cada grupo far suas medies disfaradamente, anotando os ngulos e contando os passos.  conveniente estabelecer um tamanho mdio para o passo; 50 cm, por exemplo. 
  Tudo isso constitui a fase preparatria. 
  No dia da ao, cada grupo coloca o tesouro no esconderijo e entrega ao professor a folha com a indicao do trajeto. 
  O professor redistribui os papis: cada grupo recebe o trajeto escolhido por outro e tem por objetivo encontrar esse esconderijo. 
  Cumprido o objetivo, o grupo retorna  classe e desenha um mapa do tesouro. O mapa dever indicar o trajeto com as medidas corretas dos ngulos. 
   importante fazer o mapa em escala, indicar a escala escolhida, a direo norte-sul e, como referncia, uma instalao da escola (porto, cantina etc.). Por exemplo: 

<R+>
_`[{desenho de um mapa no adap-
  tado_`]
<R->
<P>
  Vence o grupo que entregar o primeiro mapa correto do tesouro. 

               ::::::::::::::::::::::::

<192>
4- Construo de polgonos 
  regulares 

  A forma de diversos objetos  baseada na forma de polgonos regulares. 

<R+>
_`[{trs desenhos seguidos de legendas_`]
 Legenda 1: O hexgono regular aparece em porcas e parafusos.
 Legenda 2: A boca de certos copos tem a forma do octgono regular.
 Legenda 3: As pontas do broche formam um pentgono regular.
<R-> 

  Para fabricar esses objetos,  preciso fazer moldes de polgonos regulares. Como se obtm esse molde? 
  Vamos mostrar uma maneira de desenhar um pentgono regular. Com o mesmo mtodo pode-se desenhar qualquer outro polgono regular. Basta usar rgua, compasso e transferidor. 

<R+>
1. Trace uma circunferncia de centro O. 
 2. Como 3605=72, trace 5 ngulos de 72, de vrtice O, cada um tendo um lado comum com o seguinte. 
<193>
 3. Os lados desses ngulos determinam 5 pontos na circunferncia.
 4. Ligando esses pontos, voc tem o pentgono.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Pode conferir: os lados ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* etc. tm o mesmo tamanho, e os ngulos internos do pentgono tm a mesma medida. 
  Repare que essa construo se baseia em dividir o ngulo de uma volta (que mede 360) em partes iguais. O vrtice desse ngulo de uma volta  o centro O da circunferncia. Cada um dos ngulos, :?{a{o{b*, :?{b{o{c* etc.,  chamado de ngulo central do polgono regular. 
  Na construo feita, voc pode notar tambm que ^c?{a{o*, ^c?{o{b* etc. tm todos o mesmo comprimento. Cada um desses seg-
 mentos  um raio da circunferncia. Todos os raios da circunferncia tm o mesmo comprimento. 

_`[{figura no adaptada_`]

Casos particulares 

  H uma maneira de desenhar o polgono regular de 4 lados, que  o quadrado, usando apenas rgua e transferidor. Veja: 

<R+>
1. Marque o comprimento do lado na reta r. 
<P>
 2. Trace perpendiculares por A e por B. Observe como a rgua apoia o esquadro. 
<194>
 3. Para terminar, marque o comprimento do lado nas perpendiculares e ligue os pontos resultantes. Voc ter o quadrado {a{b{c{d.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O tringulo regular  chamado de tringulo equiltero porque seus trs lados tm o mesmo comprimento. Para desenh-lo, tambm h uma maneira mais simples: basta usar rgua e compasso. 

<R+>
1. Marque o lado ^c?{a{b* na reta e abra o compasso no comprimento do lado. 
 2. Faa um arco com centro em A e outro com centro em B. 
 3. Para terminar, ligue o ponto de interseco dos arcos com A e com B. O tringulo {a{b{c tem trs lados de mesmo comprimento porque traamos arcos cujo raio tem comprimento {a{b.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
Atividades 

_`[{para as atividades 54 a 56, pea orientao ao professor_`]

54. Use o mtodo j explicado e trace um polgono regular de 9 lados. 
  Para comear, trace uma circunferncia com raio de 5 cm. 
  Quanto mede o ngulo central desse polgono?
 55. Usando rgua e esquadro, desenhe um quadrado {a{b{c{d com {a{b=4,5 cm. Depois, d a medida da diagonal ^c?{a{c* desse quadrado.
 56. Trace um tringulo equiltero {a{b{c com lados de 4 cm. Depois, usando o transferidor, diga quanto mede cada um de seus ngulos internos. 

Pensando em casa 

_`[{para as atividades 57 a 60, pea orientao ao professor_`]

57. Quanto mede o ngulo central de um quadrado?
 58. Na figura _`[no adaptada_`], foram traadas todas as diagonais do polgono regular. Os polgonos formados pelas diagonais foram pintados com duas cores. Note que polgonos "vizinhos" tm cores diferentes. 
  Construa o polgono da figura em tamanho maior e trace todas as diagonais. Pinte os polgonos formados pelas diagonais. Use duas cores, a seu gosto. Capriche, fazendo uma ilustrao mais bonita que a do livro!
 59. Trace um hexgono regular a partir de uma circunferncia de 4 cm de raio. Depois, mea o lado do polgono. Voc dever observar uma coincidncia. Qual ?
 60. No  difcil descobrir como foi construda esta figura _`[no adaptada_`]. O incio foi um tringulo equiltero. 
  Desenhe uma do mesmo tipo, mas bem maior e mais bonita.

_`[{o rapaz diz: "Vale lembrar: polgonos regulares so os que tm todos os lados com mesmo comprimento e todos os ngulos com mesma medida."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<196>
5- Simetria axial 

  A palavra simetria vem da lngua grega e indicava, em sua origem, objetos ou desenhos construdos com um padro, organizados, bem proporcionados. Na Matemtica, a palavra tem um sentido um tanto diferente. 
<P>
Simetria axial e reflexo no 
  espelho 

  A foto _`[no adaptada_`] mostra a fachada do Taj Mahal, famoso palcio localizado na ndia, que foi construdo por volta de 1640 por um imperador para ser o mausolu de sua adorada esposa. 
  O Taj Mahal impressiona pela riqueza e beleza. Na fachada h uma rigorosa simetria axial. O que significa isso? 
  A palavra axial se refere a eixo. Portanto, na simetria axial h um eixo de simetria (a linha vermelha traada sobre a foto); ou seja, a parte da fachada  direita do eixo  a imagem espelhada da parte esquerda (ou vice-versa). 
  Note que a imagem do espelho tem as mesmas medidas que a imagem real. Isto , as medidas de uma parte da figura simtrica so iguais s medidas da outra parte. 
<P>
  Devido a sua relao com o espelho, a simetria axial  chamada tambm de reflexo. 

Simetria axial e dobradura 

  H outra maneira de explicar o que  uma figura com simetria axial: se for possvel dobrar a figura no eixo de simetria, suas duas partes se sobrepem. Por exemplo, isso ocorre no quadrado {d{i{n{o se o imaginarmos dobrado no eixo ~:,?{o{i*: 

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<197>
  Em relao ao eixo ~:,?{o{i*, so simtricos os pontos D e N; alm disso o simtrico de I  I e o simtrico de O  O, pois esses pontos esto sobre o eixo. Por isso, so simtricos os lados ^c?{d{i* e ^c?{i{n* e tambm ^c?{o{d* e ^c?{n{o*. Em resumo: 
  D e N simtricos 
  I simtrico de I
  O simtrico de O
  consequncia:
  ^c?{d{i* e ^c?{i{n* simtricos 
  ^c?{o{d* e ^c?{n{o* simtricos 
  Em qualquer quadrado, a reta que contm a diagonal  eixo de simetria. No entanto, isso no  verdade para os retngulos em geral. Veja: 

<F->
D    O       O
 pcccccy          
 l    _        _ 
 l    _        _ 
 l    _        {^
 l    _      ^_
 l    _    ^  _   
 -----#   u----# 
A   R  A
<F+>

  No retngulo {d{o{r{a, ~:,?{a{o* no  eixo de simetria, porque os lados ^c?{d{o* e 
<P>
^c?{o{r* no podem ser simtricos por no terem mesmo comprimento. 

Eixo de simetria de um segmento 

  Vamos usar a ideia de dobrar a figura para encontrar o eixo de simetria de um segmento de reta ^c?{a{b*: dobrando, o ponto A deve cair sobre o ponto B. 

<F->
!:::::::::::                         
l           _                 
l           _                      
l           _                            
l           _                     
l           _                        
l o:::::o _                  
l A     B _                       
h:::::::::::j 
<P>                             

!:::::::::::
l     e     _
l     l     _
l     l     _ 
l     l     _
l     l     _
l o::r::o _
l A  l  B _
h:::::::::::j
<F+>

Legenda: e -- eixo de simetria.

  Observe que o eixo de simetria: 
<R+>
  corta o segmento ao meio seg-
  mento, ou seja, contm seu ponto mdio; 
  forma ngulos de mesma medida com o segmento (porque esses ngulos ficam sobrepostos quando dobramos), cada um medindo 90}. 
<R->
  O eixo de simetria do segmento de reta ^c?{a{b* chama-se media-
 triz de ^c?{a{b*. 
<P>

<F->
    l
    l
    l
    l
o::r::o 
A  l  B
<F+>

<198>
Eixo de simetria de um ngulo 

  Imagine um ngulo desenhado em uma folha de papel. Voc faz uma dobra de maneira que os lados do ngulo coincidam e depois desdobra. A linha de dobra ser o eixo de simetria do ngulo. 

<F->
!:::::::::::  !:::::::::::
l      ^   _  l      ^   _
l    ^     _  l    ^     _
l  ^       _  l  ^   e   _
l          _  l ::::::   _
l  ^       _  l  ^       _
l    ^     _  l    ^     _
l      ^   _  l      ^   _
h:::::::::::j  h:::::::::::j
<F+>

Legenda: e -- eixo de simetria.

  Observe que o eixo de simetria de um ngulo divide-o em dois ngulos de mesma medida. A parte do eixo que est no interior do ngulo  uma semirreta. Essa semirreta chama-se bissetriz do ngulo. 

Atividades 

<R+>
61. No incio de uma partida de xadrez, as peas so arrumadas de maneira simtrica.
 a) Em que posio estaria o eixo de simetria? 
 b) Se voc considerar as cores das peas e dos quadrados do tabuleiro, a imagem no  exatamente simtrica. Por qu?

62. Desenhamos um polgono sobre uma malha de quadrados. Veja metade do desenho _`[no adaptado_`]:
 a) Com rgua, trace uma malha de quadrados com lados de 1 cm e copie a metade do polgono. Sabendo que ^c?{m{e*  eixo de simetria, complete o desenho do polgono. Seu desenho dever ser maior que o do livro. 
 b) Quantos lados tem o polgono completo? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<199>
63. No polgono a seguir, a reta m  eixo de simetria. 

<F->
     A    m   G
      *::::::::? 
     *     _     ?
  B*      _      ?F
    l      _      _ 
    l      _      _
    l      _      _
    l      _      _
  C^     _     ^E
      ^   _   ^
        ^ _ ^
          ^{^
          D

  m  perpendicular a {a{g
<F+>
<P>
a) Copie e complete a tabela, com os elementos do polgono e seus simtricos. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l elemento      _ seu simtrico _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l vrtice A    _ '''           _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l vrtice B    _ '''           _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l vrtice F    _ '''           _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l vrtice D    _ '''           _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l lado ^c?{c{d* _ '''           _
h:::::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

b) Sem medir ngulos, podemos afirmar que m  perpendicular a ^c?{a{g*? Por qu? 
 c) Ainda sem medir, podemos afirmar que :?{b{c{d* tem a mesma medida que :?{f{e{d*? 
<P>
64. Considere o segmento de reta ^c?{a{b* e o ponto M em sua mediatriz m, como na figura. 

<F->
         M l
          ^la
        ^  l  ^
      ^    l    ^
   A------v------uB
            l
          m l
<F+>

a) Alice, aluna de 7 ano, explicou corretamente porque ^c?{m{a* e ^c?{m{b* so segmentos simtricos em relao a m. Copie e complete a explicao: So simtricos os pontos ... e ... O ponto M  simtrico de ... Por isso, ^c?{m{a* e ^c?{m{b* so simtricos. 
 b) O que se pode afirmar sobre as medidas de ^c?{m{a* e ^c?{m{b*?

65. Em todo quadrado {a{b{c{d, sabemos que ~:,?{a{c*  eixo de simetria. A partir desse fato, descubra quanto mede o ngulo :?{a{m{b* e justifique sua resposta. 

<F->
         D                   
         *b?           
       *a l ^?                                          
     *a   lM ^?                           
  :::::::r:::::o::
  A ^?   l   *a C  
       ^? l *a                   
         ^*a                            
         B
<F+>

66. (Saresp -- Adaptada) O desenho _`[no adaptado_`]  parte de um ornamento circular, construdo por meio de reflexes da mesma figura em torno das retas indicadas. A figura a ser desenhada em D : 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 67 a 72, pea orientao ao professor_`]

67. O tringulo da figura _`[no adaptada_`]  escaleno, isto , seus trs lados tm tamanhos diferentes. 
  Esse tringulo no pode ter eixo de simetria. Por exemplo, a reta r no  eixo de simetria do tringulo. Por qu? 
<200>
 68. s vezes, em vez da "metade simtrica", desenhamos uma segunda figura, simtrica  primeira. Copie o tringulo em papel quadriculado e desenhe seu simtrico. Use cores diferentes para as duas figuras _`[no adaptadas_`].

69. So trs pedidos. 
 a) Copie o desenho do ngulo :?{b{a{c* e trace seu eixo de simetria, que chamaremos ^c?{a{m*. 

<F->
         
     B r
         
      
  A 
      
       
     C r
         
<F+>

b) Se o ngulo :?{b{a{c* medir 80}, quanto mede o ngulo :?{b{a{m*?

70. O tringulo da figura  issceles, com eixo de simetria ~:,?{i{m*. 
<P>
<F->
           S
           _
         ^ _
       ^   _
     ^  :x_
  :::::::::w:::
  I ^  :y_M
       ^   _
         ^ _ 
           ^_
           O
<F+>

  O ngulo :?{i{m{s* mede x. Qual  o valor de x? Explique sua resposta. 

71. Um tringulo regular tem 3 eixos de simetria. Todos eles so mediatrizes dos lados. Um quadrado tem 4 eixos de sime-
  tria. Dois eixos so mediatrizes dos lados e dois so as diagonais. 

_`[{dois desenhos no adaptados_`]
<P>
a) Quantos eixos de simetria tem um pentgono regular? Quantos deles so mediatrizes dos lados? 
 b) Quantos eixos de simetria tem um hexgono regular? Quantos deles so diagonais? 

72. Na figura est a planta simplificada _`[no adaptada_`] de dois pequenos apartamentos de um mesmo andar. Os dois dividem a mesma sacada. Plantas de apartamentos usam muito a simetria, porque isso facilita a construo. 
 a) Informe quais so as duas dependncias simtricas mais distantes uma da outra. 
 b) Descreva o que voc observa nessa planta em relao  simetria axial. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<201>
<P>
6- Simetria de rotao 

Rotao 

  Uma rotao corresponde a um giro. Por exemplo, na ilustrao seguinte, o losango faz dois giros de 90}, com centro em M, ponto de intercesso das diagonais. Note que aps o segundo giro, o losango volta  posio inicial. 

<F->
        B                   
        *b?           
      *a l ^?                                          
    *a   lM ^?                           
A :::::r:::::o C
    ^?   l   *a   
      ^? l *a                   
        ^*a                            
        D

<R+>
Legenda: Girando 90} com 
  centro M.
<R->
<P>

       A           
       *l?            
      i l e          
     i  l  e                                         
    i   lM e                                  
D ::::r::::o B
    e   l   i                         
     e  l  i                  
      e l i                         
       eli      
       C
           
Legenda: Final da rotao.

        D                   
        *b?           
      *a l ^?                                          
    *a   lM ^?                           
C :::::r:::::o A
    ^?   l   *a   
      ^? l *a                   
        ^*a                            
        B

Legenda: Final do giro.
<F+>
<P>
Simetria de rotao 

  Os polgonos regulares tm simetria axial e possuem vrios eixos de simetria. Entretanto, eles tm mais um tipo de simetria, a chamada simetria de rotao. 
  Uma figura tem simetria de rotao se, aps girar certo ngulo, ela aparentemente no muda de posio, embora seus pontos tenham mudado de lugar. 
  Observe, por exemplo, o hexgono regular da ilustrao. 

<F->
     A   B 
      *:::::?      
     *      ?    
    *        ? C  
F *     -----?----- 
   e    O     i
    e         i
     e       i
      e:::::i
     E    D
<F+>

  Se a figura fizer o giro indicado pelo ngulo :?{b{o{c*, com centro em O, o ponto A fica so-
 bre B, B fica sobre C e assim por diante. Terminado o giro, o hexgono fica com o mesmo aspecto de antes, mas seus pontos mudaram de lugar. 
  O ngulo :?{c{o{b* mede 60}. Por isso, dizemos que o hexgono tem simetria de rotao de 60}. 

<202>
Observao

  Alm da simetria de rotao de 60}, os hexgonos regulares tm simetrias de rotao de 120}, 180}, 240} e 360}. Quando h mais de uma simetria de rotao, vamos sempre nos referir a que corresponde ao menor ngulo. 

  H figuras que tm simetria de rotao, mas no tm simetria axial. Veja a prxima ilustrao _`[no adaptada_`]. 
  A figura  um ornamento circular que pode ser encontrado em sofs, tapetes e tecidos em geral. 
  Esse ornamento se baseia no pentgono regular, mas no tem eixos de simetria! Os eixos de simetria, do pentgono que fica no centro do ornamento, no dividem as folhas em partes iguais. 
  No entanto, essa figura tem simetria de rotao de 72}. Se ela girar 72} em torno do centro do pentgono, a folha *a* se sobrepe  folha *b*, esta se sobrepe  *c* etc. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Utilidade 

  A simetria de rotao aparece em ornamentos, mas tambm pode ser til em mquinas e motores! Veja um exemplo simples. 

<R+>
_`[{foto de uma roda de um automvel_`]
<R->
<P>
  A roda de automvel da foto  presa ao eixo por 5 parafusos. Os parafusos so dispostos de modo a ter simetria de rotao de 72}. Assim,  possvel prender a roda ao eixo em 5 posies diferentes. (Escolha um furo da roda. Ele pode coincidir com o furo 1 ou 2 ou 3 etc., do eixo.) 

<203>
Simetria central 

  A simetria de rotao de 180}  um caso especial. Tambm chamada de simetria central. 
  J mostramos que um losango tem simetria de rotao de 180} ou simetria central. Veja outro exemplo. 
  A figura _`[no adaptada_`] tem simetria central de centro C. Girando 180} o lado ^c?{a{c*, com centro em C, se sobrepe a ^c?{c{d*, que  seu simtrico. Girando 180} o lado ^c?{b{c* se sobrepe sobre seu simtrico ^c?{c{e*. 
  Quando uma figura tem simetria central, os pontos simtricos e o centro de rotao esto em uma mesma reta. Por exemplo, A, C e D esto na mesma reta. O centro de simetria  ponto mdio do seg-
 mento formado pelos pontos sim-
 tricos. Assim, C  ponto mdio de ^c?{a{d*. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades 73 a 76, pea orientao ao professor_`]

73. Na figura _`[no adaptada_`] v-se uma mandala, ornamento usado na religio budista. Algumas mandalas ficam nas paredes de templos; outras so feitas de areia e so desfeitas aps uma cerimnia. 
 a) Quantos eixos de simetria tem essa mandala? 
 b) Em que polgono o desenho da mandala se baseia? 
 c) Essa mandala tem simetria de rotao. Qual o menor ngulo que ela deve girar para mostrar de novo o aspecto inicial? 

74. Identifique a simetria de rotao das figuras _`[no adaptadas_`].
<204>
 75. Qual  a simetria apresentada pela figura _`[no adaptada_`]?
 76. Das letras, _`[no adaptadas_`] quais apresentam simetria central? 

Pensando em casa 

_`[{para as atividades 77 a 81, pea orientao ao professor_`]

77. Copie o desenho _`[no adap-
  tado_`] do cisne estilizado, du-
  plicando seus comprimentos. Depois, desenhe o simtrico dessa figura em relao ao ponto C. 
<P>
  (Isto , gire a figura 180} em torno de C.) 
 78. Veja como fazer um paralelo-
  gramo com lados de 10 cm e 7 cm e ngulos de 60. Trace {a{b com 10 cm e, com o esqua-
  dro, faa ngulos de 60 com vrtices em A e em B. 
  Marque 7 cm nas semirretas traadas e ligue os pontos. 
  Construa esse paralelogramo e recorte. Dobrando-o, tente descobrir seus eixos de simetria. Qual  a sua concluso? 

79. Trace as diagonais do paralelogramo que voc recortou. 
  Agora, faa a seguinte experincia: coloque a ponta do lpis sobre o ponto de intercesso das diagonais, segurando o paralelogramo sobre uma superfcie; depois, gire 180} o paralelo-
  gramo. Lembre-se de que 180}  um ngulo raso. 
 a) Depois do giro, o paralelo-
  gramo voltou a ter o mesmo aspecto? 
 b) Voc acha que o paralelogramo tem simetria central? 

80. Crie uma mandala, tendo como base um pentgono regular. Tente fazer com que sua mandala tenha apenas simetria de rotao, mas no simetria axial. 
 81. D um exemplo de desenho ou objeto fcil de encontrar no dia a dia que tenha simetria de rotao. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<205>
7- Localizando-se no plano 
 
  H uma histria curiosa sobre o filsofo e matemtico francs 
 Ren Descartes (1596-1650). Dizem que ele estava descansando na cama quando viu uma mosca pousada na parede. A mosca voou, mas Descartes ficou pensando. Como poderia explicar a uma outra pessoa qual era a posio exata da mosca na parede? 
  Na parede, Descartes imaginou duas retas perpendiculares: uma horizontal e outra vertical. Ele percebeu que, marcando nmeros nessas retas, eles serviriam para localizar a mosca. 
  Veja como:

Legenda: o -- mosca.
 
<F->         
               y 
               _ 
               _ 
             2w
               _
             1w         
               _::  
               __-_              x     
::w:::w:::w::::w::j::w:::w:::w:::o
 -3 -2 -1 0_     1  2  3
               _
            -1w
               _
            -2w
               _

<F+>
<206>
  Uma das retas  o eixo x e a outra, o eixo y. A unidade de comprimento  a mesma nos dois eixos. 
  Do ponto onde est a mosca, traa-se uma reta vertical, paralela ao eixo y. Ela corta o eixo x no ponto 2. 

<F->         
               y
               _ 
               _ 
             2w
               _
             1w       
               _       _
               _       _        x     
::w:::w:::w::::w:::w:::w::::w:::o
 -3 -2 -1 0_   1  2   3
               _        
            -1w
               _
            -2w
               _
<F+>

  Do ponto onde est a mosca, traa-se ainda uma reta horizontal, paralela ao eixo x. Ela corta o eixo y no ponto 1. 

<F->         
               y
               _ 
               _ 
             2w
               _
             1w::::::::
               _  
               _                 x     
::w:::w:::w::::w::::w:::w:::w::::o
 -3 -2 -1 0_    1  2  3
               _
            -1w
               _
            -2w
               _
<F+>

  Dizemos que a mosca est na posio (2; 1). Entre parnteses, escrevemos primeiro o nmero encontrado no eixo x e depois o do eixo y. Como essa ordem precisa ser respeitada, dizemos que (2; 1)  um par ordenado. 
  A posio da mosca  dada pelo par ordenado (2; 1). 
<P>
<F->

               y         
               _ 
               _ 
             2w
               _       (2; 1)
             1w:::::::: 
               _        _
               _        _        x     
::w:::w:::w::::w::::w:::w:::w::::o
 -3 -2 -1 0_    1  2  3
               _
            -1w
               _
            -2w
               _
<F+>

  Esse mtodo de Descartes serve para localizar pontos em um plano. 
<207>
  Agora, preste ateno nos nomes dados em homenagem a Descartes: 
<R+>
  as retas numeradas x e y chamam-se eixos cartesianos: o eixo dos valores de x  horizontal, o eixo dos valores de y  vertical; 
<P>
  o plano com esses eixos chama-se plano cartesiano; 
  os pares ordenados so as coordenadas cartesianas do ponto; 
  o ponto correspondente a (0; 0)  a origem do plano cartesiano. 

Atividades 

82. Veja a planta de uma cidade bem organizada: 

_`[{planta adaptada_`]
<F->
Legenda:
  av0: avenida 0
  av1: avenida 1
  av2: avenida 2
  av3: avenida 3
  r0: rua 0
  r1: rua 1
  r2: rua 2
  r3: rua 3
  r4: rua 4
  1: Praa da Origem
  2: Praa da Geometria
  3: Largo Cartesiano
  4: Praa Descartes

       r0  r1  r2  r3  r4
        _    _    _    _    _  
      3_    _    _  4_    _
av3 :::::::w::::w::::::::w::
        _    _    _    _    _
av2 :::w::::w::::w::::w::::w::
        _    _    _    _    _
av1 :::w::::w::::w::::w::::w::
      1_    _  2_    _    _
av0 :::::::w::::::::w::::w::
        _    _    _    _    _
<F+>

  A Praa da Geometria fica no cruzamento de que avenida com que rua? E a Praa Descartes?

83. Na cidade do exerccio anterior, as pessoas indicam os cruzamentos por um par ordenado de nmeros. O primeiro elemento do par indica a rua; o segundo, a avenida. Diga quais so os pares ordenados correspondentes a estes lugares: 
 a) Praa da Origem; 
 b) Praa da Geometria; 
<P>
 c) Praa Descartes; 
 d) Largo Cartesiano.

_`[{para as atividades de 84 a 89, pea orientao ao professor_`]

84. O retngulo {a{b{c{d _`[no adaptado_`] representa a parede de uma sala. Nela, considere estes eixos cartesianos: 
  Em cada um dos pontos A, B, C e D h uma mosca. A mosca 
  A tem estas coordenadas: `(-3; 2). D as coordenadas das outras moscas. 

<208>
85. No exerccio anterior, a distncia que vai de 0 a 1  1 metro. 
 a) A mosca A vai andar em linha reta at encontrar a mosca B. Quantos metros ela caminhar? 
 b) A mosca B vai andar em linha reta at encontrar a mosca C. Quantos metros ela caminhar?
<P>
86. O sentido positivo de um eixo  o sentido indicado pela seta. O sentido contrrio  o negativo. Agora, imagine que voc est caminhando sobre o plano cartesiano. Voc sai da origem e avana 2 unidades sobre o eixo x, no sentido positivo. Depois, gira 90 para a direita e caminha 1 unidade. A que ponto voc chega? 
  Quer uma ajuda? 
  Vamos representar o trajeto _`[no adaptado_`] no plano cartesiano: 
  Agora  com voc.
 87. Partindo da origem do plano cartesiano, voc caminha 3 unidades sobre o eixo x no sentido negativo. Depois, voc caminha, paralelamente ao eixo y, 2 unidades no sentido positivo. D as coordenadas do local a que voc chega.
<P>
 88. D as coordenadas cartesianas de A, B, C, D e O: 

_`[{figura no adaptada_`]

89. Desenhe um sistema de eixos cartesianos (voc pode usar papel quadriculado). 
 a) Marque os pontos: 
  A `(-5; -3`), B `(-2; 2), 
  C `(0; -2), D `(2; 2) e 
  E `(5; -3). 
 b) Ligue os pontos A, B, C, D e E nessa ordem. Que letra aparece?

Pensando em casa

_`[{para as atividades 90 e 91, pea orientao ao professor_`]

90. Voc est jogando batalha-
  -naval com coordenadas cartesianas. Esta  a posio de seus navios: 

_`[{figura no adaptada_`]

  O seu porta-avies tem coordenadas `(2; -3). Quais so as coordenadas dos outros navios?
 91. Para localizar um ponto na superfcie da Terra, damos sua latitude e sua longitude. Nos mapas, as linhas de latitude so horizontais e as linhas de longitude so verticais. Observe este mapa _`[no adaptado_`] do estado da Paraba e d as coordenadas aproximadas da capital, Joo Pessoa, e da pequena cidade de Monteiro. 

92. No piso da sala de aula foram desenhados 2 eixos cartesianos. A unidade de medida  1 passo. 
<P>
<F->
               y
               _
             3w
               _
             2w 
               _    
             1w
               _              x
::w:::w:::w::::w:::w:::w:::w::o 
 -3 -2 -1 0_   1  2  3
               _
            -1w 
               _
            -2w 
               _
            -3w
               _
<F+>

a) Voc est na origem. Caminhando sobre o eixo x, voc vai dar 1 passo no sentido positivo. A, voc gira 90 para a esquerda e d 2 passos. O ponto *a* que voc chega tem quais coordenadas? 
 b) Saindo desse ponto, voc d 3 passos paralelamente ao eixo x, no sentido positivo. Depois, voc gira 90 para a direita e d 5 passos. O ponto a que voc chega tem quais coordenadas?

_`[{para as atividades 93 a 95, pea orientao ao professor_`]

93. No piso de uma sala, _`[no adaptada_`] foram desenhados 2 eixos cartesianos. Neles, a unidade de medida  1 passo. Voc s pode caminhar paralelamente aos eixos. Para ir de A at B, qual  o menor nmero de passos que voc pode dar? 
 94. Num plano cartesiano, marque estes pontos: `(-2; -3), `(-2; 1), (0; 3), (1; 5).
 95. As coordenadas de um ponto tambm podem ser nmeros decimais. Encontre as coordenadas de A, B, C e D.

_`[{figura no adaptada_`]
<P>
_`[{o professor diz: "J olhou um mapa de ruas? Neles so usadas coordenadas parecidas com as coordenadas cartesianas."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<210> 
8- Representao de figuras 
  geomtricas espaciais 

  Vivemos em um mundo de trs dimenses: os objetos de nosso dia a dia tm altura, largura e profundidade. 
  Entretanto, as imagens da TV, as fotos e os desenhos de livros ou revistas tm apenas duas dimenses. Eles no tm profundidade. Mesmo assim, essas imagens costumam dar a ideia de uma terceira dimenso, dando-nos a impresso de terem profundidade. 
  Para que um desenho no papel d a impresso de profundidade, ele  feito em perspectiva. 

<211>
<P>
A perspectiva e o Renascimento

  A perspectiva  uma tcnica que permite fazer desenhos no plano do papel, que tem s duas dimenses, dando a impresso de trs dimenses. Essa tcnica foi desenvolvida por pintores da poca do Renascimento, entre os sculos XIV e XVI. Para fazer desenhos em perspectiva, eles se basearam em seus conhecimentos de Geometria. Entre os pintores que contriburam para desenvolver esse recurso, destacam-se o famoso italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) e o alemo Albrecht Drer (1471-1528). 
  Nas ilustraes seguintes, observe a diferena entre gravuras com e sem perspectiva. 

<R+>
_`[{duas ilustraes seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Desenho do sculo XII sem perspectiva.
<P>
 Legenda 2: *A ltima Ceia*, de Leonardo da Vinci, em que se nota o uso da perspectiva. 
<R->

  Uma das regras da perspectiva desenvolvida no Renascimento: linhas paralelas que se afastam do observador parecem se encontrar. Veja que isso acontece na foto 
 a seguir. Os trilhos de trem so paralelos, mas parecem se juntar  medida que se afastam de quem v a cena. 

<R+>
_`[{foto descrita pela legenda_`]
 Legenda: Trabalhadores nos trilhos de ferrovia (PR). 
<R->

<212>
Perspectiva na malha quadriculada 

  No vamos estudar a perspectiva dos pintores, mas convm que voc aprenda a fazer desenhos que deem impresso de profundidade, porque isso ajuda a compreender as figuras espaciais. 
  Veremos, ento, uma maneira simples de obter o efeito da perspectiva, com o uso da malha qua-
 driculada. 
  Veja como desenhar um bloco retangular: 
<R+>
  Primeiro, desenhamos um retngulo, que  a vista frontal do bloco retangular. 
  Usando linhas e pontos da malha e diagonais dos quadradinhos, completamos o desenho. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O resultado final d ideia de trs dimenses, no ? 
  Veja que o bloco poderia ser desenhado em outras posies: 

<R+>
_`[{dois desenhos no adaptados_`]
<R->

Anote

  Na perspectiva em malha quadriculada, as linhas paralelas que se afastam do observador no se aproximam. So desenhadas como paralelas mesmo e no h o "efeito dos trilhos de trem que se juntam". Por isso, essa perspectiva s  adequada para cenas em que no haja grandes distncias. 

<213>
Atividades

<R+>
_`[{para as atividades 96 a 100, pea orientao ao professor_`]

96. Voc viu a foto dos trilhos da ferrovia no texto deste item. Explique por que temos a impresso de que os trilhos vo se encontrar quando eles se afastam de ns. 
  Sugesto: veja no item 3 deste captulo o que se diz sobre o tamanho aparente dos objetos.
 97. Veja diferentes perspectivas de um mesmo cubo _`[no adaptado_`]. Sabendo que em cada uma de suas faces h uma letra diferente, diga qual  a letra que fica no lugar de? 
<P>
 98. Na perspectiva em malha quadriculada, os ngulos se deformam. Por exemplo, em um cubo _`[no adaptado_`], todas as faces so quadradas. Entretanto, na perspectiva deste cubo, alguns ngulos retos no parecem retos. Quais so esses ngulos deformados? 
 99. Na ilustrao _`[no adaptada_`] h um bloco retangular, visto "por baixo". Desenhe em papel quadriculado o mesmo bloco imaginando que voc o v quase como ele est no desenho, s que, em vez de v-lo "por baixo", voc est acima dele.
 100. Desenhe na malha um retngulo com 6 quadradinhos na altura e 8 no comprimento. Esse retngulo ser a face da frente de um bloco retangular. Desenhe uma vista em perspectiva desse bloco. Depois, desenhe outra vista para mostrar outras faces. Pinte as faces com cores leves.
 
<214>
<P>
Pensando em casa

_`[{para as atividades 101 a 105, pea orientao ao professor_`]

101. Veja a representao 
  de um prisma transparente {a{b{c{d{e{f, de base triangular _`[no adaptado_`]. Podemos imaginar que a face {d{e{f est sobre uma mesa. 
  Desenhe o mesmo prisma em malha quadriculada, de modo que a face {a{c{f{d esteja sobre a mesa. 
 102. No prisma da atividade anterior, A  um dos vrtices, {a{b, uma das arestas, e {a{b{c, uma das faces. Quantas faces, arestas e vrtices tem esse prisma? 
 103. A construo de dados obedece a esta regra: a soma dos pontos de faces opostas  7. Assim, se a face "de cima" vale 5 pontos, a face escondida sobre a mesa vale 2 pontos. Sabendo disso, desenhe o dado da figura _`[no adaptada_`], de modo que a face de cima mostre 6 pontos e a da esquerda mostre 3 pontos.
 104. De uma folha de cartolina, retiram-se 4 quadrados dos cantos, todos com 5 cm de lado, como se v na figura _`[no adaptado_`]. Depois a folha  dobrada, obtendo-se uma caixa com forma de bloco retangular. Qual  o volume interno da caixa? (Lembre-se de que o volume da caixa, em centmetros cbicos,  o produto das trs dimenses.)
 105. Usando rgua, uma menina fez o desenho em perspectiva, sem malha quadriculada, de uma parte de seu quarto. Veja: 
  _`[no adaptado_`]. 
  Faa um desenho como esse, sem malha quadriculada, de alguma parte de sua casa. 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte